Fondamenti della meccanica atomica
Trattandosi di funzione dispari, useremo la (58") e la (59"), che danno
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Per dimostrarlo introduciamo la funzione
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Questa funzione è rappresentata da una curva di andamento sinusoidale iscritta entro la curva
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dove v è funzione in generale di kx,ky, kz, ovvero, se il mezzo è isotropo come supporremo, solo di k.
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delle variabili: esso consiste nel cercare una soluzione u (x, y) che sia il prodotto di una funzione X della sola x per una funzione Ydella sola y
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La funzione coniugata di , cioè
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cioè: la parte spaziale, u, della funzione soddisfa la stessa equazione della . Poichè d'altra parte ciò che determina la distribuzione della
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e la funzione dovrà essere determinata in modo da soddisfare l'altra condizione iniziale, e cioè che sia
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Conviene infine rilevare che nella (250) si può conglobare nel potenziale anche il termine considerando come potenziale la funzione
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che si può considerare come un'equazione di secondo ordine nella funzione , cioè : questa dunque soddisfa l'equazione
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La funzione è riportata graficamente nella fig. 41 per gli stessi stati della fig. 40.
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forze conservative. Si esprime l'energia totale (somma della forza viva T e dell'energia potenziale U) in funzione delle q e delle p (la funzione H (q
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Difatti consideriamo per un momento X come funzione della sola coordinata e teniamo costanti le altre coordinate: la X sarà allora una funzione
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cioè in funzione degli integrali di fase Ji (che sostituiscono le f costanti di integrazione ). Si può poi dimostrare che le derivate parziali di
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Quello che abbiamo detto ora per una funzione di una variabile x, si può estendere senza difficoltà ad una funzione di p variabili , definita e
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Questo spazio si chiama perciò spazio funzionale. Si può anche dire che la funzione f(x) è rappresentata da un punto nello spazio funzionale e
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d) Il simbolo (con costante) è un operatore che muta ogni funzione integrabile f nella funzione
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b) I simboli log, sin, cos, ecc. sono altrettanti operatori, che mutano la funzione f,...) nella funzione log f), sin f, ecc.
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indicare che l'operatore applicato alla funzione f la muta nella funzione F.
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, anche se k è a sua volta una funzione. In particolare, 1 è un operatore che muta ogni funzione in sè stessa, e dicesi identità.
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(1) Qui, e nel seguito, f è una funzione qualunque cui si possano applicare gli operatori in questione.
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Applicando successivamente a una funzione un operatore e il suo inverso, le due operazioni si elidono e si ritrova la funzione primitiva.
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Passiamo ora a definire una funzione di più o. l. , , limitandoci (per semplicità di scrittura) al caso di due. Data una funzione sviluppabile di due
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Esempio. – Prendiamo come l'o. l. è una costante), e definiamo l'o. l. ossia . Poichè la funzione è definita dalla serie
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molti altri modi: a tutte queste scritture corrisponde sempre la stessa funzione F(); invece, sostituendo e con due o. l. non permutabili e , si ottengono
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(F simbolo di funzione analitica), si ha anche nel secondo sistema
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Corollario del teorema precedente è che se è hermitiano, sono tali tutte le sue potenze, e quindi qualunque sua funzione analitica (a coefficienti
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Sia ora la funzione F definita dalla serie
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È evidente poi che, se la funzione F è invertibile (cioè se si può scrivere con G simbolo di funzione analitica), vale anche il reciproco di questo
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Poichè le formano un sistema completo, qualunque funzione f si può sviluppare in serie delle , e quindi per qualunque f varrà
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e applichiamo ai due membri l'operatore , dove è un o. l. funzione qualunque di : sarà, ricordando il teorema del § 10,
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diventa una variabile continua dovremo considerare , come il simbolo di una ordinaria funzione di , che quindi si potrà scrivere anche . Così, come le
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, assai comodo nei calcoli, chiamato spesso funzione di Dirac. Esso rappresenta una funzione che goda le proprietà seguenti:
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dove a, b sono due limiti qualunque , comprendenti tra loro lo 0. Non esiste una funzione propriamente detta che goda queste proprietà, e perciò la
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se f(x) è una funzione qualunque (purchè limitata entro l'intervallo che si considera e continua in , è
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Dunque: gli autovalori dell'operatore x sono tutti i numeri reali x', e ad ognuno di essi corrisponde un asse individuato dalla funzione (75). Tali
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Passiamo ora alla definizione di una funzione di più osservabili X, Y, Z, ... (relative allo stesso istante). Se queste sono compatibili tra loro, il
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Il vettore , considerato come funzione del tempo, caratterizza lo «stato» del sistema e verrà chiamato nel seguito «vettore di stato».
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Analogamente a quanto fu fatto per una sola particella, introdurremo una funzione (complessa)
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dove è una funzione delle sole , che soddisfa l'equazione
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dove U è l'energia potenziale, che, dipendendo solo dalla posizione relativa, sarà funzione di
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Vogliamo ora stabilire delle altre importanti relazioni di permutazione. Sia una funzione delle sole q, e consideriamola come un operatore : si ha
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e non sono evidentemente permutabili, poichè per qualunque funzione f si ha
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Per una funzione (razionale e intera) delle sole p vale una relazione analoga, e cioè, chiamando l'operatore P
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(dove P è simbolo di funzione razionale intera e Q di funzione qualunque), ad essa corrisponderà una matrice per la quale varranno (in qualunque
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Se poi G è una funzione delle q e delle p della forma
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L'espressione dell'energia in funzione di x e di p = mx (hamiltoniana) è, analogamente alla meccanica classica,
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L'energia del sistema (forza viva più energia potenziale) si può quindi esprimere in funzione della sola r, e risulta
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Applichiamo ora i risultati del § precedente al caso di un sistema idrogenoide, cioè specializziamo la funzione U prendendo
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e nella (26) la massa mdiviene funzione di v secondo la legge
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Accademia della crusca
